Limites et continuité — Cours Complet

# Limites et Continuité — 2ème Année Bac

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## 1. INTRODUCTION

Le chapitre « Limites et continuité » constitue l'un des piliers fondamentaux de l'analyse mathématique au niveau baccalauréat. Il permet de décrire le comportement d'une fonction au voisinage d'un point ou à l'infini, et d'étudier si une fonction se « raccorde » sans rupture sur son domaine. Ces notions sont indispensables pour aborder l'étude complète des fonctions, les asymptotes et l'intégration.

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## 2. PRÉREQUIS

Fonctions numériques : domaine de définition, opérations sur les fonctions

Fonctions usuelles : polynômes, rationnelles, valeur absolue, racine carrée

Notion de voisinage d'un réel et intervalles

Calcul algébrique : factorisation, conjugué, règles de priorité

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## 3. COURS

### I. Limites d'une fonction

#### Définition rigoureuse

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, sauf éventuellement en $a$.

On dit que $f$ a pour **limite $\ell \in \mathbb{R}$** en $a$ si, lorsque $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche arbitrairement de $\ell$. On note : $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$

On dit que $f$ a pour **limite $+\infty$** en $a$ si $f(x)$ devient arbitrairement grand lorsque $x \to a$.

On définit de même les limites à gauche $\lim_{x \to a^-}$ et à droite $\lim_{x \to a^+}$.

#### Propriétés et théorèmes

**Opérations sur les limites :** Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ et $\lim_{x \to a} g(x) = m$, alors :

$$\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)] = \ell + m \quad ; \quad \lim_{x \to a}[f(x)\cdot g(x)] = \ell \cdot m$$

**Formes indéterminées :** $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$ nécessitent une technique de levée.

**Théorème des gendarmes :** Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ et $\lim g(x) = \lim h(x) = \ell$, alors $\lim f(x) = \ell$.

**Limite remarquable :**

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

#### Exemple résolu

Calculer $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.

**Étape 1 :** Substitution directe → forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

**Étape 2 :** Factoriser le numérateur : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

**Étape 3 :** Simplifier : $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$ pour $x \neq 2$.

**Étape 4 :** $\lim_{x \to 2}(x+2) = 4$. **Résultat : $4$.**

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### II. Continuité d'une fonction

#### Définition rigoureuse

Une fonction $f$ est **continue en $a$** si et seulement si les trois conditions sont satisfaites :

1. $f$ est définie en $a$

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe (et est finie)

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

$f$ est **continue sur un intervalle $I$** si elle est continue en tout point de $I$.

#### Propriétés et théorèmes

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$.

Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.

**Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) :** Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.

**Corollaire (cas strictement monotone) :** L'équation $f(x) = k$ admet alors **une unique solution** dans $[a,b]$.

#### Exemple résolu

Soit $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 1 \\ 3x - 1 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$. Étudier la continuité en $x = 1$.

**Étape 1 :** $f(1) = 3(1)-1 = 2$.

**Étape 2 :** $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + 1 = 2$.

**Étape 3 :** $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3(1)-1 = 2$.

**Étape 4 :** Les deux limites sont égales à $f(1)$. **$f$ est continue en $1$.**

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## 4. MÉTHODES ET TECHNIQUES

| Situation | Technique |

|---|---|

| Forme $\frac{0}{0}$ avec polynômes | Factoriser et simplifier |

| Forme $\frac{\infty}{\infty}$ | Diviser par le terme dominant |

| Forme $\infty - \infty$ avec radicaux | Multiplier par l'expression conjuguée |

| Limite en $\pm\infty$ d'une fraction | Factoriser par $x^n$ le plus grand degré |

| Continuité d'une fonction par morceaux | Comparer $f(a)$, limite à gauche, limite à droite |

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## 5. EXERCICES D'APPLICATION

### Exercice 1 — Niveau basique

**Calculer :** $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5}$

**Solution :**

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{5}{x^2})} = \frac{3}{1} = \boxed{3}$$

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### Exercice 2 — Niveau intermédiaire

**Calculer :** $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$

**Solution :**

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On multiplie par le conjugué :

$$\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt