Limites et continuité — Cours Complet

📌 INTRODUCTION

Le chapitre « Limites et continuité » constitue l'un des piliers fondamentaux de l'analyse mathématique au niveau du baccalauréat. Il permet de décrire le comportement d'une fonction au voisinage d'un point ou à l'infini, et d'introduire rigoureusement la notion de continuité. Ces outils sont indispensables pour l'étude des fonctions, le calcul des asymptotes et la résolution de nombreux problèmes d'analyse.

📌 PRÉREQUIS

Fonctions usuelles : polynômes, rationnelles, trigonométriques, exponentielles, logarithmes
Opérations algébriques sur les fonctions
Notion d'intervalle, de voisinage d'un point
Calcul numérique et factorisation de polynômes

📌 COURS

📌 I. LIMITES D'UNE FONCTION

📐 تعريف — Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, sauf éventuellement en un point $a$. On dit que $f$ admet pour limite $\ell$ quand $x$ tend vers $a$, et on note $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$, si les valeurs de $f(x)$ se rapprochent indéfiniment de $\ell$ lorsque $x$ se rapproche de $a$ sans jamais lui être égal.

🔷 خاصية — Propriété

Les opérations sur les limites : si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ et $\lim_{x \to a} g(x) = m$, alors :

$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \ell + m$
$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \ell \cdot m$
$\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\ell}{m}$ si $m \neq 0$

⭐ مبرهنة — Théorème

Théorème des gendarmes : si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ au voisinage de $a$, et si $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = \ell$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$.

💡 ملاحظة — Remarque

Certaines expressions conduisent à des formes indéterminées telles que $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $+\infty - \infty$, $0 \times \infty$. Il faut alors lever l'indétermination par factorisation, conjugué ou développement asymptotique.

✏️ مثال — Exemple

Calculer $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Étape 1 : On constate une forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$ en $x = 2$.

Étape 2 : On factorise le numérateur : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Étape 3 : On simplifie pour $x \neq 2$ :

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$$

Étape 4 : On conclut :

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$$

📌 II. CONTINUITÉ D'UNE FONCTION

📐 تعريف — Définition

Une fonction $f$ est continue en un point $a$ si les trois conditions suivantes sont vérifiées :

$f$ est définie en $a$
$\lim_{x \to a} f(x)$ existe
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

On dit que $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$.

⭐ مبرهنة — Théorème

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

⭐ مبرهنة — Théorème

Corollaire (existence d'une racine) : si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a) \cdot f(b) < 0$, alors il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que $f(c) = 0$.

🔷 خاصية — Propriété

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$. Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition. Les fonctions $\sin$, $\cos$, $\exp$ et $\ln$ sont continues sur leurs domaines respectifs.

✏️ مثال — Exemple

Étudier la continuité de $f$ en $x = 1$, avec $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ si $x \neq 1$ et $f(1) = 3$.

Étape 1 : $f$ est définie en $1$, car $f(1) = 3$.

Étape 2 : On calcule la limite : $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1}(x+1) = 2$.

Étape 3 : On compare : $\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \neq 3 = f(1)$.

Étape 4 : Conclusion : $f$ n'est pas continue en $x = 1$. Il existe une discontinuité en ce point.

📌 MÉTHODES ET TECHNIQUES

Lever une forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$ : factoriser, puis simplifier.
Lever une forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ : diviser par le terme de plus haut degré.
Lever une forme $+\infty - \infty$ : factoriser ou multiplier par la quantité conjuguée.
Pour les limites en $\pm\infty$ d'une fraction rationnelle, seuls les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur interviennent.
Pour appliquer le TVI, vérifier d'abord la continuité sur l'intervalle concerné.
Pour montrer qu'une équation $f(x) = 0$ admet une solution sur $]a, b[$, utiliser le signe de $f(a) \cdot f(b)$.

EXERCICES D'APPLICATION

📝 تمرين 1 — niveau basique

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 1}{x^2 - 2}$

✅ الحل

Limite 1 : Forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$. On factorise :

$$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$$

$$\lim_{x \to 3} \frac{x

Limites et continuité — Cours Complet

📌 INTRODUCTION

📌 PRÉREQUIS

📌 COURS

📌 I. LIMITES D'UNE FONCTION

📌 II. CONTINUITÉ D'UNE FONCTION

📌 MÉTHODES ET TECHNIQUES

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